Por que as equivalências abaixo?
Com quantificador universal
(I) ∀x(P(x) ∧ Q(x)) = ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
(II) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) ≠ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)
Com quantificador existencial
(III) ∃x(P(x) ∧ Q(x)) ≠ ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)
(IV) ∃x(P(x) ∨ Q(x)) = ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
Vamos pensar no seguinte exemplo.
A={Vendedores da loja Z}={Mario, Roberto, Augusto}.
Tabela 1
| Vendedor | Possui ensino superior | Possui CNH |
| Mario | False | True |
| Roberto | True | False |
| Augusto | False | True |
Proposições:
P(x) = Pessoa x possui ensino superior.
Q(x) = Pessoa x possui CNH.
Proposição composta I
∀x(P(x) ∧ Q(x)) = ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
Se formos aplicar o exemplo dado em I, veremos que será falso nos dois lados da "equação". Pois em ∀x∈A(P(x) ∧ Q(x)), x é a mesma pessoa em P(x) e Q(x), pois são variáveis ligadas ao mesmo quantificador universal, e para o quantificador universal, basta um contraexemplo para que a proposição seja falsa e temos três contraexemplos, que são Mário que não possui ensino superior, Roberto que não possui CNH e Augusto que não possui ensino superior, nem CNH. Por se tratar de conjunção, de acordo com a definição, ela só será verdadeira se todas as proposições forem verdadeiras.
Traduzindo a proposição para o português:
Todos os vendedores tem ensino superior e CNH.
Tabela 2
| Vendedor | P(x) | Q(x) | P(x) ∧ Q(x) |
| Mario | True | True | True |
| Roberto | True | False | False |
| Augusto | False | True | False |
Em ∀x∈AP(x) ∧ ∀x∈AQ(x) o resultado também será falso, mesmo que agora P(x) e Q(x) não tratem da mesma pessoa. A proposição poderia ser escrita de outra forma para explicitar que as variáveis ligadas a cada quantificador universal são diferentes, por exemplo ∀x∈AP(x) ∧ ∀y∈AQ(y). Um contraexemplo é o suficiente para tornar a proposição composta falsa por se tratar de conjunção e temos os mesmos dois contra exemplos, portanto a proposição composta também é falsa. Você pode testar qualquer situação e verá que o resultado será sempre o mesmo, portanto as duas expressões são logicamente equivalentes, ou seja, o valor verdade delas será sempre o mesmo.
Traduzindo a proposição para o português:
Todos os vendedores tem ensino superior e todos os vendedores possuem CNH.Tabela 3
| Vendedor x | P(x) | Vendedor y | Q(y) | P(x) ∧ Q(y) |
| Mario | True | Mario | True | True |
| Mario | True | Roberto | False | False |
| Mario | True | Augusto | True | True |
| Roberto | True | Mario | True | True |
| Roberto | True | Roberto | False | False |
| Roberto | True | Augusto | True | True |
| Augusto | False | Mario | True | False |
| Augusto | False | Roberto | False | False |
| Augusto | False | Augusto | True | False |
Proposição composta II
∀x(P(x) ∨ Q(x)) ≠ ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)
Mantendo o mesmo exemplo de vendedores, podemos ver que as expressões lógicas com quantificadores universais na disjunção não são equivalentes construindo a tabela verdade e usando a definição de quantificador universal.
Para ∀x∈A(P(x) ∨ Q(x)) vemos que não há um contraexemplo, portanto a proposição é verdadeira, pois todos os vendedores possuem curso superior, ou CNH, ou ambos neste caso onde a variável das duas proposições está ligada ao mesmo quantificador universal.
Traduzindo a proposição para o portugês:
Todos os vendedores ou possuem ensino superior ou possuem CNH.
Tabela 4
| Vendedor | P(x) | Q(x) | P(x) ∨ Q(x) |
| Mario | True | True | True |
| Roberto | True | False | True |
| Augusto | False | True | True |
Para ∀x∈AP(x) ∨ ∀x∈AQ(x) que é o mesmo que ∀x∈AP(x) ∨ ∀y∈AQ(y), porque cada variável está ligada a um quantificador universal diferente, vemos na Tabela 4 que temos contra exemplo para ∀x∈AP(x) (Augusto não tem ensino superior) e para ∀x∈AQ(x) (Roberto não possui CNH), portanto a proposição composta é Falsa, logo estas proposições compostas não são equivalentes.
Traduzindo para o português:
Todos os vendedores possuem ensino superior ou todos os vendedores possuem CNH
Tabela 5
| Vendedor x | P(x) | Vendedor y | Q(y) | P(x) ∨ Q(y) |
| Mario | True | Mario | True | True |
| Mario | True | Roberto | False | True |
| Mario | True | Augusto | True | True |
| Roberto | True | Mario | True | True |
| Roberto | True | Roberto | False | True |
| Roberto | True | Augusto | True | True |
| Augusto | False | Mario | True | True |
| Augusto | False | Roberto | False | False |
| Augusto | False | Augusto | True | True |
Proposição composta III
∃x(Q(x) ∧ R(x)) ≠ ∃xQ(x) ∧ ∃xR(x)
Da definição de quantificadores existenciais, a proposição com quantificador existencial só é falsa se para todo o conjunto universo a proposição for falsa.
Vamos usar outro exemplo de conjunto:
B=Filhas da Rosana={Maria, Magda}
Q(x) = Pessoa x possui CNH.
R(x) = Pessoa x fala inglês.
Tabela 6
| Filha | Q(x) | R(x) |
| Maria | True | False |
| Magda | False | True |
Para ∃x∈B(Q(x) ∧ R(x)) temos a seguinte situação devido a variável de x estar ligada ao mesmo quantificador existencial em Q(x) e R(x):
Tabela 7
| Filha | Q(x) | R(x) | Q(x) ∧ R(x) |
| Maria | True | False | False |
| Magda | False | True | False |
O que torna a proposição composta do nosso exemplo Falsa.
Traduzindo para o português, a proposição diz:
Existe uma filha de Rosana que possui CNH e fala inglês.
Para ∃xQ∈B(x) ∧ ∃xR∈B(x) que é o mesmo que ∃xQ∈B(x) ∧ ∃yR∈B(y) devido a variável x estar ligada a um quantificador em Q(x) e a outro quantificador em R(x), temos a seguinte situação:
| Filha x | Q(x) | Filha y | R(y) | Q(x) ∧ R(x) |
| Maria | True | Maria | False | False |
| Maria | True | Magda | True | True |
| Magda | False | Maria | False | False |
| Magda | False | Magda | True | True |
O que torna a proposição composta verdadeira.
Traduzinho para o português, a proposição diz:
Existe uma filha de Rosana que possui CNH e existe uma filha de Rosana que fala inglês.
Logo as proposições compostas não são equivalentes lógicamente.
Proposição composta IV
∃x(P(x) ∨ Q(x)) = ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)
Vamos usar o mesmo exemplo de conjunto universo da proposição IV.
Para ∃x∈B(P(x) ∨ Q(x)) temos
| Filha | Q(x) | R(x) | Q(x) ∨ R(x) |
| Maria | True | False | True |
| Magda | False | True | True |
O que torna a proposição composta verdadeira.
Traduzindo para o português:
Existe ao menos uma filha de Rosana que ou possui CNH, ou fala inglês
Para ∃x∈BP(x) ∨ ∃x∈BQ(x), temos:
| Filha x | Q(x) | Filha y | R(y) | Q(x) ∨ R(x) |
| Maria | True | Maria | False | True |
| Maria | True | Magda | True | True |
| Magda | False | Maria | False | False |
| Magda | False | Magda | True | True |
Traduzindo para o português:
Existe ao menos uma filha de Rosana que possui CNH, ou existe ao menos uma filha de Rosana que fala inglês.
O que torna a proposição composta verdadeira e também equivalente lógicamente a ∃x∈B(P(x) ∨ Q(x).
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